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SG110 Ein-/Ausschaltvorgänge bei der Spule

© H. Hübel Würzburg 2013

Induktionsgesetz

Induktivität

Glossar

Physik für Schülerinnen und Schüler

Vgl. bzgl. weiterer Informationen:
NEU Physikalische Schülerversuche mit PC und Mikroprozessor, 2. deutlich erweiterte Auflage,

im Buchhandel erschienen

Grundschaltung
Dominierende Gesetze
Einfache Rechnungen
Wie kann die Induktionsspannung gemessen werden?
Kurze Geschichte des Ein- und Ausschaltvorgangs
Für Experten
Was ist die charakteristische Zeit?

Abb. 1: Grundschaltung zur Untersuchung von Ein-/Ausschaltvorgängen an der Spule

Die Stromstärke I wird hier durch die Spannung U0 am Widerstand R gemessen, z.B. mit einem Messinterface. An der Schaltung liege die Spannung UB (hier = 5 V).

Der vom Spulenstrom durchflossene Gesamtwiderstand Rges enthält auch den Innenwiderstand der Spule. ( Einschaltvorgang: Rges = Ri + R)

Nach Unterbrechung des Schalters (Ausschaltvorgang) fließt der Spulenstrom (Induktionsstrom) auch durch den Widerstand R'. Der durchflossene Gesamtwiderstand ist dann Rges' = Rges + R' .

Schließt man in der Schaltung nach Abb. 1 den Schalter, so steigt die Stromstärke erst allmählich an. Umgekehrt, öffnet man den Schalter nach langer Zeit wieder, so klingt der Strom erst allmählich ab. Die Stromrichtungen erkennst du in den folgenden Abbildungen.



Abb. 2:

Vor dem Einschalten sei die Spule stromlos.

Nach dem Einschalten versucht sie diesen Zustand beizubehalten, indem sie eine Spannung induziert, die nach der Lenz'schen Regel der angelegten Spannung (hier 5 V) entgegenwirkt. Nach längerer Zeit fließt ein konstanter Strom durch die Spule ("Sättigungsstrom").

(Durch R' fließt jetzt auch ein Strom, der aber mit dem Spulenstrom nichts zu tun hat und deshalb hier nicht betrachtet wird).

Der Gesamtwiderstand, durch den der Spulenstrom fließt, ist zusammen mit dem Innenwiderstand der Spule (Ri): R+ Ri.

Abb. 3:

Nach Öffnen des Schalters versucht die Spule, auch diesen neuen Zustand (Strom durch Spule) beizubehalten, indem sie eine Spannung induziert, die den Sättigungsstrom weiter fließen lässt. Die Spannungsquelle ist abgetrennt, also fließt dieser Strom durch den geschlossenen Stromkreis über R'.

Der Gesamtwiderstand, durch den der Spulenstrom fließt, ist jetzt mit dem Innenwiderstand der Spule (Ri): R+ R'+ Ri.

Da jetzt der Gesamtwiderstand
um R' vergrößert ist, muss die Induktionsspannung von größerem Betrag als UB sein.

(Dass die Spule vorher magnetische Energie gespeichert hatte, ermöglicht es ihr, einen Strom zu erzeugen.)

Die Vorgänge bei der Spule werden in der Schule durch drei didaktisch wichtige Bedingungen dominiert. Die vierte Bedingung ist eine Folgerung:

"Grundgesetz der Spule" (1)
(1) Uind = - L·dI/dt (Induktionsgesetz) bzw. Spannungsabfall an der Spule UL = - Uind.

Spannungsbilanz (2)

Seit dem Zuschalten einer Batterie mit Spannung UB (alle übrigen Spannungen werden als Spannungsabfälle aufgefasst):

    (2a) UB = I · Rges + UL

mit UL > 0 , da Uind = - UL der Batteriespannung entgegengesetzt gerichtet ist.

Gleichwertig ist die Maschenregel, wenn auch Uind als Spannungsquelle aufgefasst wird:

    (2b) UB + Uind = I · Rges.

Anfangs fließt kein Strom (I = 0), also Uind = - UB .


Seit dem Abtrennen der Batterie:

    (2c) 0 = I · Rges' + UL

mit UL < 0, damit I weiterhin positiv.
Es gilt  Uind =- I · Rges'.

Rges und Rges' sind die jeweils vom Strom I durchflossenen Gesamtwiderstände.
Rges' = Rges + R' , weil der Spulenstrom nach dem Abtrennen auch durch R' fließt!

(Es ist egal, ob du mit Gleichung (2a) oder (2b) argumentierst. Beachte aber, dass Uind = - UL auf unterschiedlichen Seiten der Gleichung stehen.)

Stetigkeitsbedingung für die Stromstärke (3)

Die Stromstärke macht keine Sprünge.

Stationärer Strom ("Sättigungsstrom") (4)

Das ist die Stromstärke I, die sich einstellt, wenn keine Induktion mehr stattfindet, also, wenn UL = 0 => I aus UB = I · Rges , bzw. I = 0 nach dem Abtrennen der Batterie.

Die  Stetigkeitsbedingung hängt mit der Anfangsbedingung I(t=0) beim Einschalten zusammen. Sie bestimmt auch die Spitzenspannung, wenn noch I = 0 (Einschaltvorgang), bzw. wenn der stationäre Strom nach dem Abschalten der Batterie weiterfließen muss:

Es muss eine solche Spannung induziert werden, dass I kurzzeitig unverändert bleibt.


(Die Differentialgleichung 1. Ordnung (2a) für den Spulenstrom: UB = I · Rges  - L·dI/dt , oder (2b und 2c), benötigt nur eine Anfangsbedingung, hier für den Strom.)

dI/dt kann je nach Situation oder Kenntnisstand aufgefasst werden als Zeitableitung der Stromstärke oder als Differenzenquotient ΔI/Δt .


Beispiele für einfache Rechnungen

Es gelten die Daten von Abb. 1. Für den Einschaltvorgang folgt der stationäre Strom folgendermaßen: Nach langer Zeit: UL = 0, also auch Uind = 0, also mit der Spannungsbilanz (2): UB = I · Rges . Daraus folgt bei einem Innenwiderstand der Spule von 2 kΩ und R = 1 der stationäre Strom ("Sättigungsstrom") I = UB/Rges = 5,0 V / 3,0 kΩ = 1,7 mA.

Nach dem Öffnen des Schalters muss dieser Strom weiterfließen, also entsteht eine Spitzenspannung Uind = - UL = I · Rges' = 1,7 mA · 4,0 kΩ = 6,7 V. Sie hat gleiches Vorzeichen wie UB, weil sie einen gleichgerichteten Strom durch die Spule fließen lassen muss. Sie muss größer als UB sein, weil der unveränderte Strom durch R, den Innenwiderstand der Spule und R' gepumpt werden muss.

Unmittelbar nach dem Schließen des Schalters ist die Stromstärke noch 0, also nach der Spannungsbilanz (2): UL = UB bzw. die Spitzenspannung Uind = - UB = - 5,0 V. Sie hat umgekehrtes Vorzeichen im Vergleich zu UB , weil sie den Stromfluss zu unterdrücken versucht, zunächst sogar vollständig.



Wie kann man die Spannung an der Spule (Uind = - ULmessen?

Dazu musst du ein paar Überlegungen anstellen:

Beim Einschaltvorgang:

1. Einfach wird die Messung, wenn der Innenwiderstand Ri der Spule vernachlässigbar ist gegenüber R.

a) Rechnerische Ermittlung mit der Spannungsbilanz: Dann ist beim Einschalten einerseits in guter Näherung UL = UB - I·R, und UL kann rechnerisch aus UB und dem Spannungsabfall an R bestimmt werden.

b) Falls bipolare Messung möglich: Die - positive oder negative - Spannung UL kann  in diesem Fall als Spannung zwischen den Enden der Spule näherungsweise direkt gemessen werden.

2.a Wenn der Innenwiderstand der Spule nicht vernachlässigbar ist, muss auch der Spannungsabfall am Innenwiderstand Ri berücksichtigt werden: UL = UB - I·(R + Ri) ermöglicht wieder die rechnerische Bestimmung von UL bei bekanntem Innenwiderstand Ri. (Für den oben erwähnten Gesamtwiderstand gilt jetzt Rges = R + Ri).

In diesem Fall ist die Spannung zwischen den Enden der Spule die untrennbare Summe von UL und I·Ri . UL ist nicht direkt messbar.

Das erklärt auch, weshalb zwischen den Enden der Spule immer die konstante Batteriespannung UB liegt, wenn R = 0, obwohl eine zeitlich veränderliche Induktionsspannung entsteht.

2.b Mit einem Trick kommt man auch ohne diese Kenntnis aus:

Der Widerstand R wird durch einen regelbaren Widerstand ersetzt. Dieser wird lange nach dem Einschalten (also, wenn die Induktion abgeklungen ist) bei geschlossenem Schalter so eingestellt, dass die Spannung an der Spule ( = Spannungsabfall an Ri) und der Spannungsabfall am regelbaren Widerstand gleichen Betrag haben. Die Differenz beider Spannungen ist dann 0 (R = Ri).

Mit Induktion ist die messbare Spannung zwischen den Enden der Spule UL + I·Ri = UL + I·R; davon wird I·R im Messinterface elektronisch subtrahiert mit dem Ergebnis UL.

Konkret: Es wird die Differenzspannung zwischen zwei Eingängen des Messinterfaces gemessen, wobei der Mittelabgriff zwischen Spule und Potentiometer als Masse gewählt wird. Lange nach dem Einschalten wird das Potentiometer so eingeregelt (UL = 0), dass die Differenzspannung 0 ist. Dann ist die Spannung an R gleich dem Spannungsabfall am Innenwiderstand, der durch Differenzspannungsmesser von der Spannung an der Spule subtrahiert wird. Die Differenzspannung kann vielfach auch mit einem Oszilloskop gemessen werden.

Beim Ausschaltvorgang gilt zwar UL =  I·(R + R' + Ri), aber die Spannung an der Spule ist immer noch UL + I·Ri. Der Spannungsabfall I·Ri wird in gleicher Weise wie beim Einschalten durch I·R gemessen bzw. subtrahiert.

3. Am einfachsten ist es, wenn man die Schülerversuchsspule (Drossel mit 2 x 0,1 H und 2 x 1,5 Ω) verwendet. Sie enthält auf dem gleichen Ferritkern zwei identische Wicklungen. Die Änderung des magnetischen Flusses im Kern ist in gleicher Weise verantwortlich für die Selbstinduktionsspannung in der Primärwicklung wie für die Induktionsspannung in der Sekundärwicklung. Deshalb kann an ihr die Selbstinduktionsspannung bzw. die gleich große Induktionsspannung direkt abgegriffen werden. Wegen der beiden möglichen Vorzeichen von UL erfordert dies im Messinterface die Möglichkeit bipolarer Messungen. Bei Verwendung eines Speicheroszilloskop ist das kein Problem.


Im Schülerversuch mit Messinterface und PC entstanden folgende Bilder (oben Uind, unten I):


Abb. 4: Leider sind hier die Widerstände R und R' schwer erkennbar. Die Leitungen rechts führen zum Messinterface.

Aus UB und Rges, der den Widerstand R und den Innenwiderstand der Spule Ri enthält, wird Uind berechnet. Das geschieht z.B. im Messinterface.
Abb. 5: Durch Abgriff direkt an der Spule könnte man mit dem Messinterface in der Schaltung links die Spannung UL (auf dem Bildschirm oben) nur dann erhalten, wenn ihr Innenwiderstand vernachlässigbar ist. Darunter ist die Stromstärke I dargestellt.  Du kannst dir leicht überlegen, wie sich die Vorzeichenumkehr auf die Induktionsspannung Uind = - UL auswirkt. Dann erkennst du, dass beim Einschalten eine Gegenspannung zur Batteriespannung herrschen sollte, und beim Ausschalten eine Mitspannung, die anfänglich denselben Strom wie die Batterie durch die Spule pumpen sollte.




Eine kurze Geschichte des Ein- und Ausschaltvorgangs bei der Schaltung der Abb. 1

Spulen sind nach der Lenz'schen Regel extrem konservativ, d.h. sie versuchen, alles beim Alten zu belassen. Wenn kein Strom fließt "wollen" sie den Strom weiterhin auf 0 halten, wenn ein Strom fließt, "wollen" sie diesen weiterhin in möglichst unveränderter Stärke weiter fließen lassen. Eine andere Aussage dieser Tatsache ist, dass die Stromstärke keine Sprünge macht.

Einschaltvorgang: Solange in Abb. 1 der Schalter offen ist, ist die Stromstärke 0. Nach Schließen des Schalters induziert die stromdurchflossene Spule eine Gegenspannung, die den Strom I weiterhin kurzzeitig auf 0 hält. Allmählich steigt die Stromstärke doch an. Im geschlossenen Stromkreis liegen zwei Spannungsquellen für die Batteriespannung und die Induktionsspannung, welche als Gegenspannung wirkt. Anfänglich heben sie sich gegenseitig auf, ihre Summe verschwindet, also Uind = - UB. Im Allgemeinen erzeugen sie zusammen den Spannungsabfall I·Rges am stromdurchflossenen Gesamtwiderstand. Mit zunehmendem Strom wird der Betrag der Induktionsspannung kleiner, sie kann also immer weniger den Stromanstieg verhindern. Im Prinzip nach sehr langer Zeit t1 erreicht die Stromstärke schließlich ihren Maximalwert I1, wenn die Induktionsspannung 0 geworden ist. Dann gilt UB = I1·Rges. und die in der Spule gespeicherte Energie ist maximal.

Ausschaltvorgang: Nach Öffnen des Schalters sorgt die Spule mit einer Selbstinduktionsspannung dafür, dass der Strom I1 = UB/Rges. kurzzeitig weiterfließt. Wenn der Widerstand R' in Abb. 1 vorhanden ist, muss dieser Strom durch den Innenwiderstand der Spule, den Widerstand R und auch R' fließen. Weil Rges' = Ri + R + R' ist, wird dazu eine Induktionsspannung benötigt, deren Betrag die Batteriespannung UB überschreitet. Es gilt Uind = I1·Rges' = UB · Rges'/Rges > UB. Da sie anfänglich den unveränderten Strom I1 mit unveränderter Richtung fließen lässt, muss sie gleiches Vorzeichen wie UB haben, sie ist eine "Weiter- oder Mitspannung". Ist kein Widerstand R' vorhanden (ist Rges' also quasi beliebig groß), müsste eine beliebig große Spannung induziert werden. Schon zuvor wird z.B. die Luft zwischen den Kontakten des Schalters leitfähig, und der Schalter wird so quasi wieder geschlossen, häufig erkennbar an einem Öffnungsfunken. Schon weil nur endlich viel magnetische Energie in der Spule gespeichert ist, muss die Stromstärke I allmählich absinken. Mit absinkender Stromstärke wird auch die Induktionsspannung kleiner, und sie verhindert das Absinken noch weniger. Nach sehr langer Zeit sind Stromstärke und Induktionsspannung auf 0 abgesunken.




Gesetzmäßigkeiten: mathematischer Ausblick für Experten

a) Errate eine Lösung der DGL (geeigneter Ansatz)

Von der Lösung der DGL sind folgende Werte von Stromstärke und Induktionsspannung bekannt (der Pfeil => bedeutet: strebt gegen):

Einschaltvorgang: (I) I(t=0) = 0, I(t1) = I1 => UB/Rges, wenn t => ∞,   Uind(t=0) = - UB,  Uind(t=>t1) => 0

Ausschaltvorgang: (II) I(t1) =  I1 = UB/Rges, I(t => ∞) => 0 , Uind(t=t1) = UB · Rges'/Rges, Uind(t=>t1) => 0

Erfahrungsgemäß wird ein langsames Annähern an 0 durch eine Exponentialfunktion beschrieben, wir verwenden also versuchsweise den Ansatz exp(-t/T), wobei die Zeit T noch zu bestimmen ist.

Für den Einschaltvorgang liegt also der Ansatz nahe:

                I(t) = UB /Rges [1 - exp(-t/T)] .

Da exp(-t/T) => 0 für t => ∞ werden also die beiden festen Werte I(t=0) und I(t) = I1 => UB /Rges  für t => richtig beschrieben. Wir bestimmen T mit dem Induktionsgesetz: Uind (t=0) = - L·dI/dt = - L/T·UB/Rges. Da diese Spannung - UB sein muss, ergibt sich T = L/Rges. Die Probe mit der Spannungsbilanz bzw. der Maschenregel bestätigt endgültig unseren Ansatz. Für die Induktionsspannung im Laufe der Zeit erhalten wir: Uind (t) = - L·dI/dt = - L/T·UB/Rges · exp(-t/T) wobei T =  L/Rges, also

                Uind (t) = -UB exp(-t/T)       mit     T = L/Rges.

Für t => ∞ strebt also  Uind (t) => 0, für t = 0 ist Uind (t) = -UB .

Ähnlich machen wir für den Ausschaltvorgang (t ≧ t1) den Ansatz:

                I(t-t1) = UB/Rges exp[-(t-t1)/T'] 

(der Startwert bei t = t1 ist wegen der Stetigkeitsbedingung I(t=t1) = UB /Rges. Für t >> t1 strebt I(t) => 0. Der Ausschaltvorgang beginnt zur Zeit t = t1. Alle weiteren Zeiten sind auf diesen Zeitpunkt bezogen; deswegen die Differenz t-t1.)

Es gilt dI/dt = - I(t)/T' . Dieser Strom muss durch den Gesamtwiderstand Rges'  fließen; deswegen die geänderte Zeit T'. Aus der Spannungsbilanz erhalten wir Uind =  I·Rges'  = - L·dI/dt = + L/T'·I, also T' = L/Rges' und Uind =  UB/Rges Rges' exp[-(t-t1)/T'] , also

                Uind UB· Rges'/Rges · exp[-(t-t1)/T']      mit        T' = L/Rges'

und für t = t1 : Uind(t1) = UB Rges'/Rges > UB. Wegen des positiven Vorzeichens ist das eine "Mitspannung", die wegen  Rges' > Rges die Betriebsspannung übersteigt.


b) Löse die DGL mit einem Standardverfahren


Was ist die charakteristische Zeit T = L/Rges bzw. T' = L/Rges'?


Beim Einschaltvorgang gilt  dI/dt = UB/L - I·Rges/L, also dI/dt = UB/L, wenn I = 0 bzw. für t = 0: dI(t=0)/dt = UB/Rges Rges/L = UB/Rges 1/T. Das ist die Anfangssteigung der t-I-Funktion. Für die Tangente im Nullpunkt gilt also

                I = UB/Rges · t/T.

Die Tangente erreicht den Sättigungsstrom UB/Rges bei t = T. Damit haben wir die Deutung von T:

T ist diejenige Zeit, nach der die Stromstärke den Sättigungsstrom UB/Rges erreichen würde, wenn sie sich längs der Tangenten (im Ursprung) verändern würde.

T = L/Rges wird "charakteristische Zeit für den Einschaltvorgang" genannt, weil sie ein Maß dafür ist, wie schnell die Stromstärke ansteigt. Sie hängt von der Induktivität L und dem Gesamtwiderstand Rges des Zweigs ab, in dem der Spulenstrom fließt. Sie kann dazu dienen, für ein Experiment eine günstige Kombination von L und Rges auszuwählen, aber auch zur Messung von L.





Abb. 6: Ergebnis einer Tabellenkalkulation für L = 0,2 H, Rges = 100 Ω, Rges' = 200 Ω, UB = 5 V. Blau gezeichnet ist der Spannungsabfall I·Rges. Er ist ein Maß für den Spulenstrom I.

Die Tangenten mit der Anfangssteigung bei t = 0 s und bei t = t1 sind grün eingezeichnet. Damit kannst du T bzw. T' ablesen. Wegen T = L/Rges
erhältst du L = T·Rges = 0,002 s·100 Ω = 0,2 H.
Ganz entsprechend gilt beim Ausschaltvorgang dI(t)/dt = - I(t)/T' , und bei t = t1:   dI(t)/dt = - UB/Rges · 1/T'.

T' ist - ausgehend vom Sättigungsstrom UB/Rges - diejenige Zeit, nach der die Stromstärke den Strom 0 erreichen würde, wenn sie sich längs der Tangenten zum Zeitpunkt des Schalteröffnens verändern würde.

T' = L/Rges' wird "charakteristische Zeit für den Ausschaltvorgang" genannt, weil sie ein Maß dafür ist, wie schnell die Stromstärke abfällt. Sie hängt von der Induktivität L und dem Gesamtwiderstand  Rges' des Zweigs ab, in dem der Spulenstrom fließt. T' =  L/Rges' < T = L/Rges, weil Rges' = Rges + R' > Rges.
Der Strom fällt beim Ausschalten schneller ab, als er beim Einschalten ansteigt.

Dass T' mit zunehmender Induktivität L wächst, passt zur Überlegung, dass bei größerem L mehr magnetische Energie in der Spule gespeichert ist. T' fällt mit zunehmendem Gesamtwiderstand. Das passt gut dazu, dass mit zunehmendem Gesamtwiderstand Rges' die magnetische Energie schneller "aufgebraucht" wird.

Aus dem t-I-Diagramm lassen sich so T und T' leicht graphisch entnehmen (Abb. links mit dem Ergebnis T = 0,002 s und T' = 0,001 s).
(Achte darauf, dass die Selbstinduktionsspannung beim Ausschalten die zulässige Eingangsspannung des Messinterfaces nicht überschreitet!  Beachte die unterschiedlichen Vorzeichen der Selbstinduktionsspannung! Sie erfordern evtl. bipolare Messung im Messinterface! )
Für die Schülerversuchsspule mit L = 0,1 H und mit R = R' = 100 Ω erhältst du in guter Näherung T = L/Rges = 1 ms bzw. T' = 0,5 ms. Das Messinterface muss also schnelle Messungen zulassen.

Messtechnisch günstiger sind R = R' = 10 Ω mit T = L/Rges = 10 ms bzw. T' = 5 ms. Auch bei der empfohlenen Batteriespannung UB = 1,5 V wird die Batterie beim Einschaltvorgang sehr stark belastet.


Warnung: Es gibt im Internet so genannte "Erklärvideos" von Firmen, deren Autoren die Vorgänge bei der Selbstinduktion nicht verstanden haben. Lass' dich von ihnen nicht in die Irre führen. So kannst du kein Einserschüler werden!

Hinweis zu einer modifizierten Untersuchung mit einer Rechtecksspannung aus einem Funktionsgenerator (FG):

Hierdurch wird der Schalter überflüssig. Der Stromzweig über R' für den Ausschaltstrom kann weggelassen werden, da dieser durch den FG fließen kann. Dann sollte allerdings der Ausgangswiderstand  Ra des FG berücksichtigt werden. Sowohl der Einschalt- wie der Ausschaltstrom fließen jetzt zusätzlich durch Ra. Der Gesamtwiderstand enthält also zusätzlich in beiden Fällen Ra. Ra vermindert in beiden Fällen die charakteristische Zeit T = T'. Ein- und Ausschaltvorgang sind dann nicht wesentlich voneinander verschieden. Benutzt man den Leistungsausgang des FG, ist Ra häufig gegenüber anderen Widerständen im Stromkreis vernachlässigbar.



Möglicherweise habe ich die Tangentenmethode zur Definition von T vor Jahrzehnten durch Prof. Heuer kennengelernt.

( Juni 2014; Ergänzungen Dez. 2020; weitere Ergänzungen Mrz. 2021