Lösung der DGL für den Ein- und Ausschaltvorgang

1. Einschaltvorgang

Zur Zeit t = 0 werde der Schalter geschlossen, beginne also der Einschaltvorgang, sehr viel später, zur Zeit t = t₁ , werde der Schalter wieder geöffnet. Für den Einschaltvorgang ist - mit dem Innenwiderstand R_i der Spule - der gesamte, vom Spulenstrom durchflossene Widerstand R_ges = R_i + R, für den Ausschaltvorgang R_ges' = R_ges + R'.

Für den Einschaltvorgang gelte die Spannungsbilanz (bzw. entsprechend, die Maschenregel):

(1) U_B + U_ind = I·R_ges

Mit dem Induktionsgesetz 

(2) U_ind = - L·dI/dt

wird daraus eine Differenzialgleichung (DGL):

( 3)   I·R_ges + L · dI/dt = U_B     dI/dt = U_B/L - I·R_ges/L = U_B/L, wenn I = 0

Weil U_B ≠ 0, handelt es sich um eine lineare inhomogene DGL für I mit konstanten Koeffizienten. Sie hat beliebig viele Lösungen (die so genannte "allgemeine Lösung"). Die Anfangsbedingung I(t=0) = 0 wählt davon eine bestimmte aus. Nach der Theorie der linearen DGL erhält man die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL als Summe einer beliebigen speziellen Lösung der inhomogenen DGL und der allgemeinen Lösung der homogenen DGL:

(3') I·R_ges + L · dI/dt = 0.

Sie wird gelöst durch den Ansatz I(t) = A·exp(-t/T), also auch dI(t)/dt = - I(t)/T, also

(3")  I(t)·R_ges - L·I(t)/T = 0 . Weil dies für alle Zeiten t gelten soll, muss 1/T = R_ges/L bzw. T = L/R_ges sein.

Eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL kann erraten werden, z.B. I = U_B/R_ges. Damit also

(4)   I(t) = A·exp(-t/T) + U_B/R_ges .

Jetzt wendest du die Anfangsbedingung an: I(t=0) = A + U_B/R_ges = 0. Also A = - U_B/R_ges . Damit erhältst du

(4')   I(t) = U_B/R_ges · [1 - exp(-t/T)], wobei T = L/R_ges.

Diese Lösung genügt allen unseren Überlegungen:

Für t = 0 verschwindet die Stromstärke: I(t=0) = 0  . Für t => ∞ nähert sie sich asymptotisch dem Maximalwert I₁ = U_B/R_ges .  Die Spitzen-Induktionsspannung bei t = 0 ist U_ind = - U_B (nach Gl. 1).  Bei t = 0 haben U_{ind und} U_B  unterschiedliches Vorzeichen: U_ind ist eine Gegenspannung zu U_B.  

2. Ausschaltvorgang

Die DGL lautet jetzt

(3")   I·R_ges' - L · dI/dt = 0  .

Es ist eine lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten, die mit der Anfangsbedingung I(t = t₁) = I₁ = U_B/R_ges zu lösen ist, weil die Stromstärke keine Sprünge macht (Stetigkeitsbedingung).

Der Ansatz I(t) = A·exp(-t/T) führt ähnlich wie früher auf T = L/R_ges' , diesmal aber mit dem vergrößerten Gesamtwiderstand R_ges'. A erhältst du durch die Anfangsbedingung

I(t = t₁) = A·exp(-t₁/T) =  U_B/R_ges , also  A = U_B/R_ges · exp(t₁/T). Es folgt

I(t) = U_B/R_ges  · exp(t₁/T) · exp(-t/T) = U_B/R_ges  ·  exp[-(t-t₁)/T]   für t ≧ t₁

Für t = t₁ folgt also der Anfangswert I(t = t₁) = I₁ = U_B/R_ges , für t => ∞ fällt I(t) exponentiell gegen 0. Weil dI/dt = - I(t)/T' folgt für die Induktionsspannung U_ind = - L · dI/dt = - U_B · R_ges'/R_ges · exp[-(t-t₁)/T']   für t ≧ t₁, und also die Spitzenspannung für t = t₁:

U_ind = - U_B · R_ges'/R_ges.

U_ind und U_B haben unterschiedliches Vorzeichen. Weil R_ges' > R_ges übersteigt der Betrag von U_ind den von U_B. Der Exponentialfaktor exp(-t/T) mit T = L/R_ges' lehrt, dass für den Ausschaltvorgang U_ind schneller auf 0 abfällt als U_ind für den Einschaltvorgang auf U_B anwächst (T' < T).

3. Was ist das für eine Zeit T = L/R_ges bzw. T' = L/R_ges' ?

Beim Einschaltvorgang gilt  dI/dt = U_B/L - I·R_ges/L, also dI/dt = U_B/L, wenn I = 0 bzw. für t = 0: dI(t=0)/dt = U_B/R_ges R_ges/L = U_B/R_ges 1/T. Das ist die Anfangssteigung der t-I-Funktion. Für die Tangente im Nullpunkt gilt also

I = U_B/R_ges t/T.

Die Tangente erreicht den Sättigungsstrom U_B/R_ges bei t = T. Damit haben wir die Deutung von T: T ist diejenige Zeit, nach der die Stromstärke den Sättigungsstrom U_B/R_ges erreichen würde, wenn sie sich längs der Tangenten im Ursprung verändern würde. T wird "charakteristische Zeit für den Einschaltvorgang" genannt, weil sie ein Maß dafür ist, wie schnell die Stromstärke ansteigt. Sie hängt von der Induktivität L und dem Gesamtwiderstand  = L/R_ges des Zweigs ab, in dem der Spulenstrom fließt.

Ganz entsprechend gilt beim Ausschaltvorgang dI(t)/dt = - I(t)/T' , und bei t = t₁: dI(t)/dt = - U_B/R_ges T'. T' ist - ausgehend vom Sättigungsstrom U_B/R_ges - diejenige Zeit, nach der die Stromstärke den Strom 0 erreichen würde, wenn sie sich längs der Tangenten zum Zeitpunkt des Schalteröffnens verändern würde. T' wird "charakteristische Zeit für den Ausschaltvorgang" genannt, weil sie ein Maß dafür ist, wie schnell die Stromstärke abfällt. Sie hängt von der Induktivität L und dem Gesamtwiderstand  R_ges' des Zweigs ab, in dem der Spulenstrom fließt. T' > T, weil R_ges' = R_ges + R' > R_ges. Dass T' mit zunehmender Induktivität L wächst, passt zur Überlegung, dass bei größerem L mehr magnetische Energie in der Spule gespeichert ist. T' fällt mit zunehmendem Gesamtwiderstand. Das passt gut dazu, dass mit zunehmendem Gesamtwiderstand R_ges' die magnetische Energie schneller "aufgebraucht" wird.